question posée le 26-11-2013 par Antoine
Bonjour,
à la suite de la relativité restreinte Einstein nous décrit l'univers comme plat et infini sans courbure : on imagine une feuille de papier étendue à l'infini.
Après la relativité générale on sait cet espace courbé par de la matière-energie.
Les débats actuels décrivent des univers à courbure nulle, positive ou négative.
Je visualise (difficilement) un univers à courbure positive (3-sphère) ou un univers plat (hypertore) mais je ne comprends pas comment un univers à courbure négative peut être de même nature : fini et non borné. Pour moi une scelle de cheval (analogie en 2D d'une courbure négative dans la dimension 3) s'étend à l'inifini : c'est un espace infini sans bord. Tous les modèles d'univers connus nous donnent-ils des escpaces à 4D sans bord mais finis ? L'exemple du dodécaèdre de poincarré est-il un exemple d'univers à courbure négative ?
réponse du 01-03-2014 par Fabrice Mottez
N'oubliez pas de considérer que la courbure en cosmologie (positive, nulle ou négative) est celle de l'espace-temps, et pas seulement celle de l'espace.
Vous constatez, en faisant une analogie avec un espace en 2 dimensions, qu'un espace à courbure négative est infini. C'est compatible avec l'espace-temps de la cosmologie (dit de Friedman-Lemaître). On trouve en effet qu'un espace(-temps) à courbure négative est en expansion infinie : il ne cesse de grandir, pour des temps allant à l'infini. C'est donc bien un univers qui n'est pas borné, dans sa composante temporelle.
Un espace-temps à courbure positive est borné. On le voit en 2D avec, par exemple, une sphère. L'espace de la cosmologie quand il a une courbure positive s'agrandit jusqu'à un certain moment où il se contracte à nouveau. Il passe alors, en se contractant, par des phases (géométriquement parlant) où il avait déjà été auparavant. Donc d'un point de vue temporel, c'est bien un espace fermé, puisque au fur et à mesure que le temps passe, on se retrouve dans des configurations où on avait déjà été. C'est comme si le temps lui-même était cyclique, donc d'extension finie.
Enfin, un détail important : quand vous considérez la courbure d'un espace 2D, il faut prendre certaines précautions. En fait, pour connaître la courbure en un point de cet espace, suivez deux chemins qui se croisent à angle droit en cet endroit. Chaque chemin a sa propre courbure. Il se trouve qu'en choisissant d'autres paires de chemins (à angle droit, en ce lieu) vous trouverez d'autres paires de courbures. Mais le produit des deux courbures est indépendant du choix des chemins. Et c'est ce produit que l'on appelle la courbure de l'espace.
Pour un espace de courbure nulle, on voit alors qu'il suffit, en prenant deux chemin, qu'un seul ait une courbure nulle. Cela fonctionne évidement avec une feuille de papier plate. Mais cela fonctionne aussi avec la feuille si on l'enroule pour faire un cylindre. Donc un univers plat peut aussi être analogue (en 2D) avec un cylindre.
